14.4 Nagy számok és centrális határeloszlás

14.4.1 Cél és konkrét helyzet

A Northstar kezdőlabor orders.csv fájljában a delivery_days pozitív egész, jobbra ferde eloszlású: sok rendelés 4-7 nap alatt megérkezik, de van egy hosszú farkú kisebbség, amelyik 10-20 napot is késik. Tegyük fel, hogy a termékmenedzser azt kérdezi: „Ha holnap 100 új rendelés érkezik, mennyire lesz pontos a 7 napos kézbesítési átlagunk becslése?” A kérdés megválaszolásához nem elég az adatok hisztogramját nézni: külön kell választanunk az adatok eloszlását és az átlag mintavételi eloszlását. Ez az alfejezet ezt a két fogalmat építi fel szimulációval, a nagy számok törvénye (law of large numbers, LLN) és a centrális határeloszlás-tétel (central limit theorem, CLT) segítségével.

Kiinduló becslés: ha a delivery_days várható értéke $\mu \approx 6$ nap, szórása $\sigma \approx 3$ nap, akkor 100 rendelés átlagának bizonytalansága nagyjából $\sigma / \sqrt{100} = 3/10 = 0{,}3$ nap lehet. Ezt a számot ebben az alfejezetben pontosan értelmezzük, és ellenőrizzük, milyen feltételek mellett igaz.

14.4.2 Fogalmi magyarázat: adateloszlás, mintavételi eloszlás, LLN, CLT és standard error

Legyen $X_1, X_2, \ldots, X_n$ egy $n$ elemű minta. Minden $X_i$ ugyanabból az eloszlásból származik, várható értéke $E[X_i] = \mu$, varianciája $\operatorname{Var}(X_i) = \sigma^2$, és a megfigyelések függetlenek (iid, a Függetlenség, kovariancia és függő adat alfejezetben bevezetett értelemben). A mintaátlag:

$$\bar X_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.$$

Az átlag maga is véletlen mennyiség, hiszen másik mintát véve más értéket kapunk. Ha $n=2$ és $X_i \sim \text{Bernoulli}(0{,}5)$, azaz minden elem 0 vagy 1, fejenként $1/2$ valószínűséggel, akkor a lehetséges minták és átlagaik:

Itt $\mu = 0{,}5$ és $\sigma^2 = 0{,}25$. Az átlag várható értéke $0{,}25 \cdot 0 + 0{,}5 \cdot 0{,}5 + 0{,}25 \cdot 1 = 0{,}5 = \mu$, varianciája pedig $0{,}25 \cdot (0-0{,}5)^2 + 0{,}5 \cdot (0{,}5-0{,}5)^2 + 0{,}25 \cdot (1-0{,}5)^2 = 0{,}125 = \sigma^2 / 2$. Ez a kézi ellenőrzés mutatja a két alapazonosságot:

$$E[\bar X_n] = \mu, \qquad \operatorname{Var}(\bar X_n) = \frac{\sigma^2}{n}.$$

A második azért igaz, mert a variancia skálázási szabálya szerint $\operatorname{Var}(aX + b) = a^2\operatorname{Var}(X)$, és független tagok varianciája összeadódik. Az átlag tehát ugyanazon $\mu$ körül ingadozik, de a szórása $1/\sqrt n$-szeresére csökken. Ezt a mennyiséget nevezzük standard hibának (standard error, SE):

$$SE(\bar X_n) = \sqrt{\operatorname{Var}(\bar X_n)} = \frac{\sigma}{\sqrt n}.$$

A standard hiba mértékegysége megegyezik $X$ mértékegységével: a fenti szállítási példában nap. Fontos megkülönböztetni a minta szórásától, $s$-től, amely az egyes adatpontok szóródását méri; a standard hiba az átlag becslésének bizonytalansága.

A mintavételi eloszlás (sampling distribution) egy statisztika — például az átlag — eloszlása az összes lehetséges azonos méretű minta felett. A gyakorlatban ezt úgy közelítjük, hogy sok független mintát veszünk ugyanabból a populációból, és mindegyikből kiszámoljuk a statisztikát. Amikor a fenti Bernoulli-példában $n=2$-vel a három lehetséges átlagérték valószínűségeit soroltuk fel, valójában a mintavételi eloszlást írtuk le.

A nagy számok törvénye (LLN) azt mondja ki, hogy $n$ növekedtével az átlag egyre közelebb kerül $\mu$-höz: nagy mintán a véletlen átlagolás kiátlagolja az egyedi eltéréseket. A standard hiba $1/\sqrt n$-es csökkenése ennek a kvantitatív formája: $n = 100$-nál tízszer kisebb a szóródás, mint $n = 1$-nél.

A centrális határeloszlás-tétel (CLT) ennél többet állít: nemcsak azt, hogy az átlag koncentrálódik, hanem azt is, hogy az átlag eloszlásának alakja haranggörbéhez tart. Pontosabban, ha $X_i$ iid, $\mu$ és $\sigma^2$ véges, akkor a standardizált átlag

$$Z_n = \frac{\bar X_n - \mu}{\sigma / \sqrt n} = \frac{\bar X_n - \mu}{SE(\bar X_n)}$$

eloszlása $n \to \infty$ esetén a standard normális eloszláshoz, $\mathcal N(0,1)$-hez konvergál. Ez akkor is igaz, ha maga $X$ erősen ferde vagy akár diszkrét. A konvergencia eloszlásbeli, nem pontonkénti: a $Z_n$ hisztogramja egyre jobban illeszkedik a normális sűrűségre.

A tétel feltételei:

1. iid minta: a megfigyelések függetlenek és azonos eloszlásúak. Ha például ugyanazon ügyfél több rendelését is belerakjuk, a sorok nem függetlenek, és a $\sigma/\sqrt n$ képlet általában nem megfelelő; pozitív korreláció esetén gyakran alulbecsli, negatív korreláció esetén akár túlbecsülheti a tényleges standard hibát — ezt a Függetlenség, kovariancia és függő adat alfejezetben a tervezési effektussal láttuk.
2. Véges variancia: $\sigma^2 < \infty$. Ez a valós adatoknál általában teljesül, de egyes nehéz farkú eloszlásoknál (például Cauchy) nem, és ott a CLT nem működik.
3. Elég nagy $n$: a gyakorlati közelítés annál jobb, minél nagyobb a minta, és minél kevésbé ferde az alapeloszlás. Erősen ferde eloszlásnál $n = 30$ lehet kevés, $n = 100$ vagy $n = 300$ lehet a biztonságos.

A CLT nem azt állítja, hogy az adatok maguk normálissá válnak nagy mintán. Egy exponenciális eloszlású adathalmaz $n = 1000$ elemnél is jobbra ferde marad; csak az átlag eloszlása lesz közel normális. Ez a leggyakoribb félreértés, a Hiány és anomália mint vizsgálati kérdés alfejezetben tárgyalt ferde eloszlásokra ugyanígy vonatkozik.

14.4.3 Minimális munkapélda: exponenciális adat és az átlag eloszlása

A szállítási idő utánzatául válasszunk $\text{Exp}(\lambda = 1/6)$ eloszlást, amelynek várható értéke $\mu = 6$ nap, szórása $\sigma = 6$ nap. Ez jobbra ferde: sok érték 0 és 5 nap között, de ritkán 20-30 napos késések is előfordulnak. Négy mintanagysággal dolgozunk: $n = 1, 5, 30, 100$. Minden $n$-re:

• veszünk egyetlen $n$ elemű mintát, ez az „adat eloszlása” hisztogramjának alapja;
• veszünk $B = 10\,000$ darab $n$ elemű mintát, mindegyikből kiszámoljuk az átlagot, ez közelíti az átlag mintavételi eloszlását.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(20261020)  # szimulációs seed, nem a Northstar-generátoré
n_sim = 10_000                         # ismételt minták száma B
mu = 6.0                               # az exponenciális várható értéke (nap)
sigma = 6.0                            # az exponenciális szórása (nap)
ns = [1, 5, 30, 100]                   # mintanagyságok

fig, axes = plt.subplots(2, 4, figsize=(14, 6), sharex="col")

for j, n in enumerate(ns):
    # Egyetlen adatminta: az adatok eloszlását mutatja
    one_sample = rng.exponential(scale=mu, size=n)  # shape: (n,)
    axes[0, j].hist(one_sample, bins=25, density=True,
                    color="steelblue", alpha=0.7, range=(0, 30))
    axes[0, j].set_title(f"Adat, n={n}")
    if j == 0:
        axes[0, 0].set_ylabel("Sűrűség")

    # B darab minta átlaga: a mintavételi eloszlás közelítése
    samples = rng.exponential(scale=mu, size=(n_sim, n))  # shape: (B, n)
    means = samples.mean(axis=1)                         # shape: (B,)
    axes[1, j].hist(means, bins=30, density=True,
                    color="darkorange", alpha=0.7)
    # A CLT szerinti normális sűrűség: N(mu, sigma/sqrt(n))
    xs = np.linspace(mu - 4 * sigma / np.sqrt(n), mu + 4 * sigma / np.sqrt(n), 300)
    axes[1, j].plot(xs, stats.norm.pdf(xs, loc=mu, scale=sigma / np.sqrt(n)),
                    "r-", linewidth=2)
    axes[1, j].set_title(f"Átlag, n={n}")
    axes[1, j].set_xlabel("nap")
    if j == 0:
        axes[1, 0].set_ylabel("Sűrűség")

fig.suptitle("Az adat eloszlása (fent) és az átlag mintavételi eloszlása (lent)")
plt.tight_layout()
plt.show()

A fenti kódot itt nem futtattuk; az alábbi leírás a megadott seeddel elméletileg várt, szemléltető kimenet, nem mért eredmény. A felső sor hisztogramjai minden $n$-re jobbra ferde exponenciális alakot mutatnak: $n = 100$-nál is a 0-5 napos sáv a leggyakoribb, és a farok 20 nap fölé nyúlik. Az alsó sorban $n = 1$-nél az átlag eloszlása azonos az adat eloszlásával. $n = 5$-nél a hisztogram még enyhén jobbra ferde, de $n = 30$-nál és $n = 100$-nál a piros normális görbe már szemmel láthatóan együtt fut a hisztogrammal. A harang alak középpontja mindvégig $\mu = 6$ nap körül van, a szélessége viszont $n$ növekedtével láthatóan csökken: $n = 100$-nál a vízszintes tengelyen már csak a 4-8 napos sáv a releváns.

14.4.4 Eredmény értelmezése és ellenőrző számítás

A szimuláció numerikus ellenőrzéséhez az átlagok tömbjére vonatkozó két invariant használható. Mivel a $B = 10\,000$ átlag maga is egy minta a mintavételi eloszlásból, az ő átlaguk közelíti $E[\bar X_n] = \mu$-t, a szórásuk pedig közelíti $SE(\bar X_n) = \sigma / \sqrt n$-t. A Monte Carlo közelítés hibája nagyjából $1/\sqrt B \approx 0{,}01$ szintű a standardizált mennyiségekre, ezért a következő szemléltető tűréshatárokat fogadhatjuk el: az átlagok átlaga $6 \pm 0{,}05$ nap, az átlagok szórása pedig $\sigma/\sqrt n$ értékétől legfeljebb néhány százalékkal térhet el.

Például $n = 100$-ra az elméleti standard hiba $6 / \sqrt{100} = 0{,}6$ nap. Ha a szimulált átlagok szórása $0{,}58$ és $0{,}62$ nap közé esik, az összhangban van a képlettel. Az $n = 5$ esetben a standard hiba $6 / \sqrt 5 \approx 2{,}68$ nap, tehát öt rendelés átlaga még nagyon zajos becslés — ezért nem érdemes kis mintából üzleti döntést hozni.

A standardizált értékekre is ellenőrizhetünk. Ha a means tömb átlaga $\bar m$ és szórása $s_m$, akkor a z = (means - mu) / (sigma / np.sqrt(n)) tömb hisztogramjának közelítenie kell a $\mathcal N(0,1)$ sűrűséget. Ennek ferdesége 0-hoz, lapultsága 3-hoz tart $n$ növekedtével; kis $n$-nél az exponenciális alapeloszlás ferdesége miatt még látható eltérés maradhat.

A Northstar delivery_days oszlopára ugyanez a logika érvényes, de ott $\mu$-t és $\sigma$-t nem ismerjük, csak a mintából becsülhetjük. A becslés bizonytalansága a Standard error és konfidenciaintervallum alfejezetben tárgyalt konfidenciaintervallum témája lesz; itt a generáló paramétereket pontosan ismerő szimuláció volt a cél.

A centrális határeloszlás-tétel nem azt mondja ki, hogy a nyers adatok eloszlása normálissá válik, hanem a megfelelően standardizált mintaátlag közelítő eloszlásáról szól. Függő adatok vagy végtelen variancia esetén külön feltételek szükségesek.

14.4.5 Feladatok

1. Értelmezés. Egy elemző azt mondja: „Megnéztem 200 szállítási időt, és a hisztogram még mindig erősen jobbra ferde. Ez azt bizonyítja, hogy a centrális határeloszlás-tétel nem működik a mi adatunkon.” Magyarázd el, miért téves ez az érvelés. Melyik eloszlásra vonatkozik a CLT, és mit kellene inkább ábrázolnia?

2. Implementálás. A Bernoulli-példa szimulációja. Generálj rng = np.random.default_rng(42) seeddel $B = 20\,000$ ismételt mintát $p = 0{,}2$ paraméterű Bernoulli-eloszlásból, $n = 10$, $50$ és $200$ mintanagysággal. Mindegyik $n$-re számold ki az átlagok átlagát és szórását, és hasonlítsd össze a $\mu = p$ és $\sigma / \sqrt n = \sqrt{p(1-p)/n}$ elméleti értékekkel. Add meg, mekkora eltérést fogadsz el a Monte Carlo hiba miatt.

3. Hibadiagnózis. Egy kolléga ezt a kódot írta a standard hiba ellenőrzésére:

rng = np.random.default_rng(7)
samples = rng.exponential(scale=6.0, size=(5000, 30))
means = samples.mean(axis=1)
print(np.std(samples))      # 6.01 körüli értéket vár
print(np.std(means))        # 1.10 körüli értéket vár

Azt állítja, hogy a második print a standard hibát adja, ezért 1.10-et kellene kapnia, de ő 6.01-hez közeli értéket lát. Hol a hiba a gondolatmenetében? Javítsd ki a kódot, és add meg a helyes elméleti standard hibát $n = 30$-ra.

4. Megváltozott feltétel: Cauchy-eloszlás. A CLT feltételezi a véges varianciát. Vizsgáld meg, mi történik, ha $X_i$ standard Cauchy-eloszlású, amelynek nincs várható értéke és varianciája. Generálj rng = np.random.default_rng(99) seeddel $B = 10\,000$ mintát $n = 5$, $50$ és $500$ mintanagysággal rng.standard_cauchy(size=(B, n)) használatával, számold ki az átlagokat, és ábrázold a hisztogramjukat a $[-10, 10]$ intervallumra vágva. Mit tapasztalsz, és miért nem mond ellent a CLT-nek?

14.4.6 Megoldások és indoklás

1. megoldás. A CLT az átlag mintavételi eloszlásáról szól, nem az adatok eloszlásáról. A 200 szállítási idő hisztogramja az adateloszlást mutatja, amely a CLT szerint is ferde maradhat tetszőlegesen nagy $n$-nél. Az elemzőnek azt kellene ábrázolnia, hogy sok, egyenként 200 elemű minta átlaga hogyan oszlik el. Ha az alapeloszlás véges varianciájú, akkor ezek az átlagok egyre inkább harang alakú eloszlást követnek $N(\mu, \sigma/\sqrt{200})$ paraméterekkel. Az adat ferdesége tehát nem cáfolja a tételt.

2. megoldás. A következő kód ellenőrzi az invariánsokat. Az elméleti értékek: $\mu = 0{,}2$, $\sigma = \sqrt{0{,}2 \cdot 0{,}8} = 0{,}4$, így a standard hiba $n = 10$-re $0{,}4/\sqrt{10} \approx 0{,}1265$, $n = 50$-re $0{,}0566$, $n = 200$-ra $0{,}0283$. A Monte Carlo hiba a szórás becslésére nagyjából $\sigma_m / \sqrt{2B}$ nagyságrendű, ami $B = 20\,000$-nél elhanyagolható a három tizedesjegyhez képest, ezért $\pm 0{,}005$ abszolút tűrés észszerű.

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)
B = 20_000
p = 0.2
sigma = np.sqrt(p * (1 - p))  # 0.4

for n in [10, 50, 200]:
    samples = rng.binomial(n=1, p=p, size=(B, n))  # shape: (B, n), 0/1 értékek
    means = samples.mean(axis=1)                   # shape: (B,)
    se_theory = sigma / np.sqrt(n)
    print(
        f"n={n:3d} | átlagok átlaga={means.mean():.4f} (cél {p}) | "
        f"átlagok szórása={means.std(ddof=0):.4f} (SE cél {se_theory:.4f})"
    )

A szemléltető várt kimenet (a seeddel elméletileg, nem futtatott eredmény): minden sorban az átlagok átlaga $0{,}20$ körül mozog $\pm 0{,}005$-ön belül, az átlagok szórása pedig rendre kb. $0{,}126$, $0{,}057$ és $0{,}028$. A ddof=0 azért helyes, mert itt a $B$ darab átlagot a mintavételi eloszlás teljes szimulált populációjának tekintjük, nem egy részmintának.

3. megoldás. A kolléga két különböző mennyiséget kever össze. Az np.std(samples) a 30 elemű adatminta szórásának becslése a $B \times 30$-as tömbön, ami $\sigma = 6$ napot közelíti — ezért lát $6{,}01$-et. A standard hiba viszont ennek $1/\sqrt{30}$-szorosa: $6/\sqrt{30} \approx 1{,}095$ nap. A helyes ellenőrzés az np.std(means) értékét hasonlítja ehhez. A kódban tehát nem a print sor hibás, hanem az értelmezés: a második print valójában a standard hibát adja, és $1{,}10$-hez közeli értéket kellene látni. Ha a kolléga mégis $6{,}01$-et lát a második sorban, akkor valószínűleg véletlenül mindkét sorban az samples tömböt írta, vagy a két nyomtatást felcserélte. Javítás: print(np.std(means)) az egyetlen releváns sor a standard hiba ellenőrzésére.

4. megoldás. A Cauchy-eloszlásnak nincs véges várható értéke, ezért az átlag sem konvergál $\mu$-höz, és a standardizált átlag sem tart normálishoz. A szimulációban a hisztogramok nem mutatnak $n$-nel csökkenő szélességet: a farokban mindig maradnak extrém kiugró átlagok, mert egyetlen nagy $X_i$ érték dominálhatja a teljes átlagot. A $[-10, 10]$-re vágott ábrán is látszik, hogy $n = 500$-nál is széles, csúcsos eloszlást kapunk, nem haranggörbét. Ez nem mond ellent a CLT-nek, mert a tétel feltétele — a véges variancia — sérül. A Cauchy-példa azt tanítja, hogy a CLT-t nem szabad automatikusan alkalmazni, ha az adatokban extrém kiugrók dominálnak vagy a variancia nem véges; ilyenkor robusztusabb összegzés vagy más modell kell.

14.4.7 Gyakori tévedés, visszautalás és önellenőrzés

A leggyakoribb tévedés: „Nagy mintán az adatok normális eloszlásúvá válnak.” Ez hamis. Az exponenciális szimuláció felső sora mutatja az ellenpéldát: $n = 100$-nál is jobbra ferde az adat, miközben az átlag eloszlása már normális. A CLT csak a mintavételi eloszlás alakjáról szól, az adateloszlásról nem.

Visszautalás: a Hiány és anomália mint vizsgálati kérdés alfejezetben a kiugrókat a mérési folyamathoz kapcsoltuk; a CLT érvényességéhez is azt kell ellenőrizni, hogy a farok nem olyan nehéz, hogy a variancia végtelen legyen. A Függetlenség, kovariancia és függő adat alfejezetben láttuk, hogy a függőség módosítja az átlag varianciáját: pozitív klaszteren belüli korreláció gyakran csökkenti az effektív mintanagyságot és az iid képlet alulbecsülheti a standard hibát; ez nem igaz minden lehetséges függőségi szerkezetre.

Önellenőrző kérdések: (1) Mi a különbség $\sigma$, a minta szórása és a standard hiba között? (2) Miért van szükség a függetlenségre a variancia $1/n$-es skálázásához? (3) Ha egy eloszlás ferde, mekkora $n$-től bízhatunk a normális közelítésben — mi határozza meg ezt? (4) A Cauchy-szimulációban miért nem csökken a hisztogram szélessége $n$-nel?

14.4.8 Rövid összefoglaló

A nagy számok törvénye szerint a mintaátlag a várható értékhez konvergál, és ingadozásának mértéke a standard hiba, $\sigma / \sqrt n$. A centrális határeloszlás-tétel ennél erősebb: független, azonos eloszlású, véges varianciájú megfigyelések esetén a standardizált átlag eloszlása a standard normálishoz tart, függetlenül az adatok eredeti alakjától. A tétel az átlag mintavételi eloszlásáról szól, nem az adatokéról; ferde adat nagy mintán is ferde marad. Az iid feltétel és a véges variancia sérülése érvényteleníti a közelítést, ahogy a Cauchy-példa mutatja. A következő Paraméter, becslő és likelihood alfejezetben ebből építjük fel a likelihood és a paraméterbecslés fogalmát.

További olvasmány és elsődleges dokumentáció: [SciPy] scipy.stats Reference, https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/stats.html (hozzáférés: 2026-10-21).