20.3 Egyszerű előrejelző modellek és baseline

20.3.1 Cél és konkrét helyzet

A Northstar-projekt orders.csv fájlját napi rendelésszámmá aggregálva rövid távú napi előrejelzési feladatot kapunk. Ebben az alfejezetben nem a 7 napot meghaladó kézbesítés bináris célját, hanem egy idősoros döntési kérdést vizsgálunk: a következő 7 nap mindegyikére hány rendelés várható, ha csak a mai napig ismert adatot használhatjuk. A megfigyelési egység egy nap; a célváltozó az aznapi rendelésszám, mértékegysége darab. Az időbélyeg UTC, a gyakoriság $1$ nap. A predikció pillanata az utolsó teljesen megfigyelt nap végén, a következő nap 00:00 UTC időpontja, a horizont pedig $h=1,\dots,7$ nap.

A labor egy ismert szerkezetű, determinisztikus seedű szintetikus napi sort használ, hogy a várható hiba nagyságrendjét is ellenőrizhessük. A feladat: építsük meg a naiv (persistence) és szezonális naiv baseline-t, illesszünk egy kis exponenciális simítási modellt, majd több időablakon, mindig csak a múltból számolva hasonlítsuk össze őket korrekt hibamértékkel. Az ARIMA-modellt áttekintés szintjén ismerjük meg; a teljes azonosítás és elmélet nem előfeltétel.

20.3.2 Autokorreláció kis példán

Az idősoros modellek alapötlete, hogy a mai érték hasonlíthat a tegnapihoz. Az autokorreláció (autocorrelation) a sorozat önmagával vett, $k$ nappal eltolt lineáris kapcsolata. Az $y_1,\dots,y_T$ sorozat $k$ rendű autokorrelációja:

$$r_k = \frac{\sum_{t=k+1}^{T}(y_t-\bar y)(y_{t-k}-\bar y)} {\sum_{t=1}^{T}(y_t-\bar y)^2},$$

ahol $y_t$ a $t$ napi érték, $\bar y$ a mintaátlag, $T$ a megfigyelések száma, $k$ a késleltetés (lag), napokban. A nevező a teljes varianciaarányos skálázás, a számláló pedig a $k$ nappal eltolt párok együttes ingadozása. Ha a szomszédos napok együtt mozognak, $r_1$ közel $+1$; ha váltakoznak, közel $-1$.

Kézi kontroll a $[10, 11, 12, 13, 14, 15]$ sorozaton: $\bar y=12{,}5$, az eltérések $[-2{,}5, -1{,}5, -0{,}5, 0{,}5, 1{,}5, 2{,}5]$. A $k=1$ számláló $3{,}75+0{,}75-0{,}25+0{,}75+3{,}75=8{,}75$, a nevező $17{,}5$, így $r_1=0{,}5$. A pozitív érték azt mutatja, hogy a monoton növekvő sorban a tegnapi érték információt hordoz a mairól; ez indokolja a naiv baseline-t.

20.3.3 Egyszerű modellek és jelölések

Naiv modell (persistence). A legjobb tipp a holnapi értékre a mai érték. Ha a predikció origója $T$, akkor minden $h\ge 1$ horizontra:

$$\hat y_{T+h|T} = y_T .$$

Itt $\hat y_{T+h|T}$ a $T$-ig ismert adatokból készült $h$ lépéses előrejelzés; mértékegysége megegyezik $y$-nal. A modellnek nincs illesztendő paramétere, ezért kiváló baseline.

Szezonális naiv. Heti ciklusnál $m=7$ nap; a holnapi értéket a múlt heti azonos napra adjuk. Általánosan, ha $m$ a periódus hossza napokban:

$$\hat y_{T+h|T}=y_{T+h-m\lceil h/m\rceil},$$

ahol $\lceil\cdot\rceil$ felfelé kerekítés. Például $T=7$, $m=7$, $h=1$ esetén $y_{1}$, $h=7$ esetén $y_7$, $h=8$ esetén ismét $y_1$. Gyakorlatban ez az utolsó $m$ megfigyelés ciklikus ismétlése.

Exponenciális simítás. Az egyszerű exponenciális simítás (simple exponential smoothing, SES) egy szintet tart karban:

$$l_t = \alpha y_t + (1-\alpha) l_{t-1}, \qquad \hat y_{T+h|T}=l_T .$$

A szint $l_t$ mértékegysége megegyezik a célváltozóéval; $\alpha$ simítási paraméter, dimenziótlan, $0 \le \alpha \le 1$. Kis $\alpha$ simít, nagy $\alpha$ gyorsan követi a friss megfigyelést; az optimális $\alpha$ az illesztés során becsülhető. Szezonális adatra a Holt–Winters-változat trendet és periódusonkénti szezonális tagokat is becsül; a statsmodels ExponentialSmoothing osztálya ezt a seasonal="add" és seasonal_periods=7 argumentumokkal adja.

ARIMA áttekintés. Az ARIMA$(p,d,q)$ család általános keret: $p$ autoregresszív tag a saját múltat használja, $q$ mozgóátlag tag a múltbeli hibákat, $d$ pedig az egyszerű differenciát $y'_t=y_t-y_{t-1}$ a trend eltávolítására. AR(1):

$$y_t = c + \phi_1 y_{t-1} + \varepsilon_t,$$

MA(1):

$$y_t = c + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1},$$

ahol $c$ konstans, $\phi_1$ és $\theta_1$ becsült együtthatók, $\varepsilon_t$ véletlen hibatag, naponként azonos szórású, nem autokorrelált. A teljes ARIMA-azonosítás meghaladja ezt az alfejezetet; a laborban az exponenciális simítás a választott kis statisztikai modell, az ARIMA pedig opcionális összehasonlítás.

Reziduális. Az illesztett modell in-sample hibája

$$e_t = y_t - \hat y_{t|t-1},$$

vagyis a tényleges érték és az egylépéses modell-előrejelzés különbsége. Jó modellnél a reziduális közelítőleg fehér zaj: nulla körüli átlag, közel konstans szórás és nincs jelentős autokorreláció. Autokorrelált maradék arra utal, hogy a modell kihagyott struktúrát; ilyenkor trend- vagy AR/MA-taggal érdemes bővíteni.

20.3.4 Teljes minimális munkapélda

A következő kód szintetikus napi sort készít, majd négy darab 7 napos tesztablakon, mindig csak az origó előtti adatra illesztve értékeli a naiv, a szezonális naiv és a Holt–Winters-modellt. A kimenet szemléltető; a tényleges futási számok a helyi környezettől és a seedtől függenek.

import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing
from sklearn.metrics import mean_absolute_error

rng = np.random.default_rng(20261020)
n = 168
t = np.arange(n)
trend = 0.08 * t
season = 4.0 * np.sin(2 * np.pi * t / 7)
noise = rng.normal(0, 1.8, size=n)
y = 30.0 + trend + season + noise
series = pd.Series(
    y, index=pd.date_range("2025-01-01", periods=n, freq="D")
)

def evaluate_origin(series, origin, horizon=7):
    train = series.iloc[:origin]
    test = series.iloc[origin:origin + horizon]

    # Naiv baseline: az utolsó tanítóérték ismétlése
    naive_pred = np.full(horizon, train.iloc[-1])

    # Szezonális naiv: az utolsó 7 nap ciklikus ismétlése
    seasonal_pred = np.tile(train.iloc[-7:].to_numpy(), (horizon // 7) + 1)[:horizon]

    # Kis statisztikai modell: additív Holt-Winters
    hw_model = ExponentialSmoothing(train, seasonal="add", seasonal_periods=7)
    hw_fit = hw_model.fit(optimized=True)
    hw_pred = hw_fit.forecast(horizon).to_numpy()

    naive_scale = np.mean(np.abs(np.diff(train.to_numpy())))
    result = {
        "naive_mae": mean_absolute_error(test, naive_pred),
        "seasonal_naive_mae": mean_absolute_error(test, seasonal_pred),
        "hw_mae": mean_absolute_error(test, hw_pred),
        "naive_mase": mean_absolute_error(test, naive_pred) / naive_scale,
        "hw_mase": mean_absolute_error(test, hw_pred) / naive_scale,
        "resid": train.to_numpy() - hw_fit.fittedvalues.to_numpy(),
    }
    return result

train_size = 140
horizon = 7
windows = []
for origin in range(train_size, n, horizon):
    windows.append((origin, evaluate_origin(series, origin, horizon)))

rows = []
for origin, r in windows:
    rows.append({
        "window_origin": origin,
        "naive_mae": r["naive_mae"],
        "seasonal_naive_mae": r["seasonal_naive_mae"],
        "hw_mae": r["hw_mae"],
        "naive_mase": r["naive_mase"],
        "hw_mase": r["hw_mase"],
    })
results = pd.DataFrame(rows)
print(results.round(2))

A reziduális diagnosztikát az utolsó ablak tanítórészére így kérhetjük le:

from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox

ljung = acorr_ljungbox(windows[-1][1]["resid"], lags=[7], return_df=True)
print(ljung)

A szemléltető futtatásban a 7 napos periódus a determinisztikus magban látható; az adatgeneráló képlet $30 + 0{,}08t + 4\sin(2\pi t/7) + \varepsilon_t$, ahol $t$ napokban, az amplitúdó és a szint rendelésszámban értendő, $\varepsilon_t$ pedig független normális zaj, szórása $1{,}8$ rendelés.

20.3.5 Eredmény értelmezése

A MAE (mean absolute error) abszolút hibák átlaga a tesztablakban, rendelésszámban:

$$\mathrm{MAE} = \frac{1}{H}\sum_{h=1}^{H}\left| y_{T+h} - \hat y_{T+h|T} \right|,$$

ahol $H=7$ a horizont hossza. A MASE (mean absolute scaled error) ezt a naiv baseline in-sample hibájához viszonyítja: a nevező $\frac{1}{T-1}\sum_{t=2}^{T}|y_t-y_{t-1}|$ a tanítóablak átlagos napi változása. A MASE dimenziótlan; $1$-nél kisebb érték azt jelenti, hogy a modell jobb, mint a naiv, $1$-nél nagyobb, hogy rosszabb. A MASE akkor használható érdemben, ha a nevező nem nulla; állandó sorozatnál nem értelmezhető.

Az elméletileg várt mintázat: a heti szezonalitás miatt a seasonal_naive_mae és a hw_mae kisebb, mint a naive_mae; a hw_mase tipikusan $1$ alatt van, míg a naiv MASE $1$ körül mozog, de a rövid tesztablakok miatt ablakonként ingadozik. A Holt–Winters-modell becsült simítási paraméterei az adott ablakra illeszkednek; a modell nem használhat jövőbeli tesztnapot. A Ljung–Box-teszt $p$-értéke $0{,}05$ felett azt jelzi, hogy a reziduális autokorrelációja nem szignifikáns; ez a modell elfogadhatóságának egyik feltétele, nem önmagában bizonyíték a jó előrejelzésre.

Horizont és kiértékelés: a hétlépéses előrejelzésnél külön kell nevezni a direkt és a rekurzív stratégiát, valamint horizontonként összehasonlítani a baseline modelleket. A h=1 mérőszáma önmagában nem igazolja a h=7 előrejelzés használhatóságát.

20.3.6 Feladatok

1. Értelmezés. Legyen $m=2$, a tanítóablak utolsó két értéke $[101, 103]$, a tesztablak pedig $[104, 106, 105, 107]$. Számítsa ki kézzel a naiv és a szezonális naiv előrejelzést mind a 4 napra, majd adja meg a MAE értékét. Melyik baseline a jobb ebben a rövid ablakban?

2. Megvalósítás. Futtassa a fenti kódot, majd módosítsa a Holt–Winters-modellt seasonal="mul" értékre. Hasonlítsa össze a két változat ablakonkénti MAE-jét, és indokolja, miért várható az additív változat előnye a használt generáló képlet mellett. A döntéshez ne használja a tesztablakot modellválasztásra; rögzítse előre a kritériumot.

3. Hibadiagnózis. Egy társ a naiv baseline-t így számolja: pred = pd.Series(test).shift(1). Milyen hibát követ el a fix originű, 7 napos előrejelzésnél? Adjon invariánst, amellyel a helyes naiv előrejelzés ellenőrizhető.

4. Transzfer. Növelje a zaj szórását az adatgeneráló kódban $1{,}8$-ról $6{,}0$-ra, és futtassa újra a négy ablakot. Hogyan változnak a MAE és a MASE értékek? Miért változik kevésbé a MASE, mint a MAE?

20.3.7 Megoldások és indoklás

1. A naiv előrejelzés mind a 4 napra $103$. A szezonális naiv $m=2$-vel az utolsó két értéket ismétli: $[101, 103, 101, 103]$. A naiv hibái: $|104-103|+|106-103|+|105-103|+|107-103|=1+3+2+4=10$, MAE $=10/4=2{,}5$. A szezonális naiv hibái: $|104-101|+|106-103|+|105-101|+|107-103|=3+3+4+4=14$, MAE $=14/4=3{,}5$. Ebben a rövid ablakban a naiv jobb; ez arra figyelmeztet, hogy a szezonális naiv nem automatikus nyertes.

2. A multiplikatív változat akkor indokolt, ha a szezonális amplitúdó a szinttel arányosan nő. A generáló képletben a szezonális tag additív konstans amplitúdójú, ezért az additív specifikáció közelebb van az igaz folyamathoz; a multiplikatív változat a kis szintingadozást is arányosítja, és rövid ablakon túlilleszthet. A helyes döntési eljárás előre rögzített, például az utolsó ablak kivételével az összes ablak átlagos MAE-je alapján választunk, a félretett ablak csak jelentésre szolgál.

3. A shift(1) minden tesztnapra az előző tényleges tesztértéket adja, ami egy rögzített $T$ origóból nem áll rendelkezésre; ez jövőinformáció, és optimista hibát okozhat. A helyes naiv prediktor konstans: np.full(horizon, train.iloc[-1]). Invariáns: assert (pred == train.iloc[-1]).all() és assert len(pred) == horizon.

4. Nagyobb zajnál a tényleges értékek ingadozása nő, ezért a MAE minden modellnél nő. A MASE nevezője, a training átlagos napi változása is nő, mert a zaj dominál; így a hányados kevésbé változik. A zaj elnyomja a heti struktúrát, ezért a Holt–Winters és a naiv közötti MASE-különbség csökkenhet; a modell előnye kevésbé lesz megbízható.

20.3.8 Gyakori tévedés ellenpéldával

A leggyakoribb hiba, hogy a bonyolultabb modellt automatikusan jobbnak tekintjük a naiv baseline-nál. Ellenpélda: ha a generáló képletből elhagyjuk a szezonális tagot, tehát season = 0.0, akkor a heti ciklus megszűnik, és a szezonális naiv az utolsó hét zajos értékeit ismétli; a 7 napos teszt MAE-je várhatóan meghaladja a naiv modellét, a Holt–Winters pedig a becsült szezonális tagokkal ugyancsak túlilleszthet. Emlékeztető a korábbi fejezetekből: ahogyan Időhelyes feature és gördülő visszateszt alfejezetben a jövőinformáció kizárása volt a feltétel, itt is minden ablakban csak az origó előtti adat használható; a többszöri modellválasztás pedig a Power, mintanagyság és többszörös próbák alfejezetben tárgyalt peekinghez hasonló torzítást vihet az értékelésbe, ha nincs előre rögzített döntési szabály.

Önellenőrzés: a naiv prediktor minden eleme egyenlő; a forecast hossza egyenlő a horizonttal; a MASE nevező pozitív; a modellillesztés soha nem kapja meg a tesztablakot.

20.3.9 Rövid összefoglaló

A naiv modell a mai értéket ismétli, a szezonális naiv a múlt heti mintát, az exponenciális simítás pedig simított szintből és szezonális tagokból készít $7$ napos előrejelzést. A több tesztablakos értékelésben a MAE rendelésszámban méri az abszolút hibát, a MASE a naiv baseline-hoz viszonyít: $1$ alatt javulás, $1$ felett romlás. A reziduális autokorreláció diagnosztika; ha jelentős, a modell struktúrát hagyott ki. Az ARIMA keretrendszer AR, MA és differencia tagokkal általánosít, de a bonyolultabb modell nem garantál javulást. A következő alkalmazás az V. ellenőrző pont, ahol ezt a baseline- és hibakeretet teljes modellértékelési állításrendszerré kell összekötni.