10.4 Sajátérték, SVD és dimenziócsökkentés előképe

10.4.1 Cél és konkrét helyzet

A Vetítés és legkisebb négyzetek alfejezetben a legkisebb négyzetes illesztést úgy értelmeztük, mint merőleges vetítést az oszloptérre. Most a kérdés a következő: ha az adatpontok egy felhőt alkotnak valamilyen térben, mely irányok mentén terülnek el a legjobban? Ez azért fontos, mert a későbbi dimenziócsökkentés, illetve a főkomponens-elemzés előképét adja: egy sokdimenziós táblában gyakran néhány irány hordozza az eltérések nagy részét, a többi pedig szinte zaj.

A tanulási ellenőrzéshez nem a teljes Northstar rendeléseit, hanem egy ismert szerkezetű, mesterséges pontfelhőt használunk. Így a számított főirányt a generálásból ismert irányhoz tudjuk hasonlítani. A bemenet egy $n \times p$ numerikus mátrix, $\mathbf X$; a megfigyelési egység egy szimulált rendelés. A generálás:

• $z_1 \sim \mathcal N(0,2^2)$: egy nagy szóródású látens jellemző (szórás: 2);
• $z_2 \sim \mathcal N(0,0.3^2)$: egy kis szóródású látens jellemző (szórás: 0,3);
• a kettőt $35^{\circ}$-kal elforgatjuk az $(x_1,x_2)$ síkban.

Előzetes becslés: mivel $z_1$ szórása sokkal nagyobb, a főiránynak az elforgatás után a $35^{\circ}$-os irányban kell állnia, a második irány pedig arra merőleges. A szinguláris értékek négyzeteinek és a mintaszámnak az aránya közelítőleg a két generáló varianciát adja. A fejezet végére teljes NumPy-kóddal ellenőrizzük ezt.

10.4.2 Centrált mátrix és a kovarianciamátrix előképe

Legyen $\mathbf X$ $n \times p$ méretű: sorai megfigyelések, oszlopai numerikus jellemzők. A főirányoknak azt az irányt keressük, amely mentén a megfigyelések szóródnak, nem feltétlenül azt, amely mentén az értékek nagyok. Ezért először oszloponként kivonjuk az átlagot:

$$\tilde{\mathbf X} = \mathbf X - \mathbf{1}\bar{\mathbf x}^T.$$

Itt $\mathbf{1}$ az $n \times 1$ csupa egy vektor, $\bar{\mathbf x}$ pedig a $p \times 1$ oszlopátlag-vektor. A centrálás után minden oszlop átlaga nulla. A minta-kovarianciamátrix becslése:

$$\mathbf C = \frac{1}{n-1}\tilde{\mathbf X}^T\tilde{\mathbf X},$$

aminek mérete $p \times p$. A főátlóban az egyes oszlopok szórásnégyzeteinek becslése, az átlón kívül kovarianciák állnak. A mértékegység vegyes lehet: ha az első oszlop kilométer, a második euró, akkor $\mathbf C$ elemei $\text{km}^2$, $\text{km}\cdot\text{EUR}$ és $\text{EUR}^2$ egységekben vannak; ez már jelzi, hogy a nyers kovarianciamátrix irányai nem mértékegység-függetlenek.

Adott $\mathbf u$ egységvektorra, azaz $\lVert \mathbf u \rVert=1$, a pontok vetülete $\tilde{\mathbf X}\mathbf u$, alakja $n \times 1$. Ennek varianciája:

$$\operatorname{Var}(\tilde{\mathbf X}\mathbf u) = \frac{1}{n-1}(\tilde{\mathbf X}\mathbf u)^T(\tilde{\mathbf X}\mathbf u) = \mathbf u^T\mathbf C\mathbf u.$$

A cél tehát: találni olyan $\mathbf u$ egységvektort, amelyre a $\mathbf u^T\mathbf C\mathbf u$ másodfokú kifejezés a lehető legnagyobb. Ez vezet a sajátvektorokhoz.

10.4.3 Sajátvektor és sajátérték

Egy négyzetes, $p \times p$ méretű $\mathbf A$ mátrixra a $\mathbf v \ne \mathbf 0$ vektor sajátvektor (eigenvector), ha a mátrixszorzás csak a hosszát skálázza:

$$\mathbf A\mathbf v = \lambda \mathbf v.$$

A $\lambda$ skalár a sajátérték (eigenvalue). A sajátvektor tehát olyan irány, amelyen a lineáris transzformáció nem forgat, csak nyújt vagy zsugorít. Például

$$\mathbf A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix},\qquad \mathbf v_1 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\qquad \mathbf v_2 = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}.$$

Ekkor $\mathbf A\mathbf v_1 = 2\mathbf v_1$ és $\mathbf A\mathbf v_2 = 0.5\mathbf v_2$; a sajátértékek $2$ és $0.5$, a sajátvektorok a koordinátatengelyek.

A $\mathbf C$ minta-kovarianciamátrix szimmetrikus és pozitív szemidefinit. Itt a spektráltételt bizonyítás nélkül használjuk: egy szimmetrikus mátrix felbontható ortonormált sajátvektorokkal:

$$\mathbf C = \mathbf V \boldsymbol\Lambda \mathbf V^T,$$

ahol $\mathbf V$ oszlopai a sajátvektorok, $\boldsymbol\Lambda$ pedig a sajátértékekből álló átlós mátrix. A legnagyobb sajátértékhez tartozó sajátvektor a $\mathbf u^T\mathbf C\mathbf u$ kifejezés maximumát adja az egységgömbön; ez a legnagyobb varianciájú irány. A második legnagyobb sajátértékhez tartozó, az elsőre merőleges vektor adja az erre merőleges fő szóródási irányt.

A korábbi Vetítés és legkisebb négyzetek alfejezetből már ismerjük az $\mathbf X^T\mathbf X$ mátrixot: ott a normálegyenletben jelent meg. A ranghiányos esetben a pszeudoinverz adott egyértelmű megoldást. Most ugyanannak a mátrixnak a főirányait, nem egy konkrét egyenlet megoldását keressük.

10.4.4 SVD és szinguláris értékek

Bármely $m \times n$ valós $\mathbf M$ mátrix felbontható szinguláris értékek szerint (singular value decomposition, SVD):

$$\mathbf M = \mathbf U \boldsymbol\Sigma \mathbf V^T.$$

A redukált felbontásban, ha $r = \min(m,n)$:

• $\mathbf U$ mérete $m \times r$, oszlopai az ortonormált bal szingulárvektorok;
• $\boldsymbol\Sigma$ mérete $r \times r$, átlóján a $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \cdots \ge \sigma_r \ge 0$ szinguláris értékek;
• $\mathbf V^T$ mérete $r \times n$, sorai a jobb szingulárvektorok, így $\mathbf V$ oszlopai ortonormáltak.

Ha $\mathbf M$ a centrált $\tilde{\mathbf X}$ mátrix, akkor $m=n_{\text{minta}}$, $n=p$. Mivel $n_{\text{minta}} > p$ a példánkban, $\mathbf U$ mérete $n \times p$, $\boldsymbol\Sigma$ mérete $p \times p$, $\mathbf V$ mérete $p \times p$. A $\mathbf U$ és $\mathbf V$ ortogonalitása miatt $\mathbf U^T\mathbf U = \mathbf I_p$ és $\mathbf V^T\mathbf V = \mathbf I_p$. Ebből:

$$\tilde{\mathbf X}^T\tilde{\mathbf X} = \mathbf V \boldsymbol\Sigma^2 \mathbf V^T.$$

Összevetve a $\mathbf C$-re adott sajátfelbontással: a jobb szingulárvektorok megegyeznek a kovarianciamátrix sajátvektoraival, és a $j$-edik főirányon a variancia

$$\lambda_j = \frac{\sigma_j^2}{n-1}.$$

A szinguláris érték tehát nem szórás: a hossza úgy skálázódik, mint a centrált adat euklideszi normája. Ezt a mintapéldában ellenőrizzük.

Kézi kis kontroll: ha

$$\mathbf M = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix},$$

akkor $\mathbf M = \mathbf I \operatorname{diag}(3,2)\mathbf I$, tehát a szinguláris értékek $3$ és $2$, a jobb szingulárvektorok a koordinátatengelyek, a rang $2$.

10.4.5 Rank és numerikus küszöb

A rang (rank) a lineárisan független oszlopok maximális száma. Az SVD-ben a rang a pozitív szinguláris értékek száma. Pontos lineáris függésnél a legkisebb szinguláris érték nulla:

$$\mathbf X_3 = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & -1.5x_1 + 0.5x_2 \end{pmatrix},$$

ahol a harmadik oszlop az első kettő lineáris kombinációja, így a rang legfeljebb $2$. A gyakorlatban mérési zaj vagy lebegőpontos kerekítés miatt a nulla helyett nagyon kicsi $\sigma$ jelenik meg. A np.linalg.matrix_rank ezért egy relatív tűréssel dönt; a pontos mátrixnál a kis szinguláris érték a tűrés alatt marad, a zajosnál viszont lehet, hogy a tűrés fölé kerül. A rang tehát numerikus döntés is, nem csak algebrai fogalom. A Stabil numerika és érzékenység üzenete itt visszatér: a mátrix skálázása megváltoztathatja, hogy ugyanaz a fizikai eltérés mekkora szinguláris értékként jelenik meg.

10.4.6 Dimenziócsökkentés előképe

A legnagyobb $k < p$ szinguláris érték megtartásával készíthető közelítés:

$$\tilde{\mathbf X}_k = \sum_{j=1}^{k}\sigma_j\mathbf u_j\mathbf v_j^T = \mathbf U_k\boldsymbol\Sigma_k\mathbf V_k^T.$$

Az új koordináták, a főirányokra vetített értékek:

$$\mathbf Z_k = \tilde{\mathbf X}\mathbf V_k, \qquad \text{shape: } n \times k.$$

A rekonstrukció $\mathbf Z_k\mathbf V_k^T$, és az elhagyott irányok hibáját a $\sigma_{k+1}^2 + \cdots + \sigma_p^2$ összeg méri. Ha a kis szinguláris értékek elhanyagolhatók, akkor a $p$ dimenziós pontfelhő jó közelítéssel $k$ dimenzióban ábrázolható. A formális PCA-modellhez ez a kép, de a skálázási és értelmezési döntéseket a PCA: skála, vetítés és megőrzött variancia fejezetre hagyjuk.

10.4.7 Teljes minimális munkapélda

Az alábbi kód előállítja a forgatott felhőt, centrál, SVD-t számol, és ábrázolja a főirányokat. A futást helyben kell elvégezni; az itt mutatott értékek elméletileg várt, szemléltető értékek, nem előre rögzített mérési jegyzőkönyv.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng(20261020)
n = 240

# Látens jellemzők: egy nagy és egy kis szórású irány
z1 = rng.normal(loc=0.0, scale=2.0, size=n)
z2 = rng.normal(loc=0.0, scale=0.3, size=n)

# 35 fokos forgatás az (x1, x2) síkban
t_deg = 35.0
t = np.deg2rad(t_deg)
R = np.array([[np.cos(t), -np.sin(t)],
              [np.sin(t),  np.cos(t)]])

# Minden sor egy megfigyelés: shape (n, 2)
X = (R @ np.vstack([z1, z2])).T

# Centrálás, majd redukált SVD
Xc = X - X.mean(axis=0)
U, s, Vt = np.linalg.svd(Xc, full_matrices=False)

print("s === ", s)
print("Vt sorai:", Vt[0], Vt[1])

# Rekonstrukció: U * s oszloponként skáláz, majd Vt-vel szoroz
Xr = (U * s) @ Vt
print("max rekonstrukciós hiba:", np.max(np.abs(Xc - Xr)))

# Variancia a főirányokon
vars_axes = (s ** 2) / (n - 1)
print("varianciák a főirányokon:", vars_axes)
print("teljes variancia:", vars_axes.sum(),
      Xc.var(axis=0, ddof=1).sum())

# Az első főirány szöge, előjeltől eltekintve
angle = np.rad2deg(np.arctan2(Vt[0, 1], Vt[0, 0])) % 180
print("első főirány szöge:", angle)

# Ábra
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6.4, 6.4))
ax.scatter(Xc[:, 0], Xc[:, 1], s=18, alpha=0.5,
           label="centrált megfigyelés")
for j, color in zip([0, 1], ["tab:red", "tab:blue"]):
    sd = s[j] / np.sqrt(n - 1)
    v = Vt[j] * 2.0 * sd
    ax.arrow(0, 0, v[0], v[1], width=0.08, head_width=0.30,
             length_includes_head=True, color=color,
             label=f"{j + 1}. főirány, sd={sd:.3f}")
ax.axhline(0, color="gray", linewidth=0.8)
ax.axvline(0, color="gray", linewidth=0.8)
ax.set_xlabel("x1: centrált változó")
ax.set_ylabel("x2: centrált változó")
ax.set_title("SVD-főirányok a forgatott pontfelhőn")
ax.set_aspect("equal", adjustable="datalim")
ax.legend()
plt.savefig("s040_principal_directions.png", dpi=150,
            bbox_inches="tight")

A rang kérdését külön kis példán mutatjuk be. Ha a harmadik oszlop pontosan lineáris kombináció, a rang $2$; ha nagyon kis zajt adunk hozzá, a numerikus rang a tűrés függvényében lehet $2$ vagy $3$:

x3 = -1.5 * X[:, 0] + 0.5 * X[:, 1]  # pontos lineáris függés
X3 = np.column_stack([X, x3])
print("pontos rang:", np.linalg.matrix_rank(X3))

x3n = x3 + rng.normal(scale=1e-8, size=n)
X3n = np.column_stack([X, x3n])
print("zajos alap rang:", np.linalg.matrix_rank(X3n))
print("nagy tűrés melletti rang:",
      np.linalg.matrix_rank(X3n, tol=1e-5))

10.4.8 Eredmény értelmezése

Az SVD matematikai azonossága miatt a rekonstrukciós hiba $\max|\tilde{\mathbf X}-\mathbf U\boldsymbol\Sigma\mathbf V^T|$ értékének $10^{-12}$ alatt kell maradnia float64 esetén; ez az egyik stabil ellenőrző invariáns. A vars_axes elemek elméletileg $4$-hez és $0.09$-hez esnek közel, mert a forgatás nem változtatja meg a teljes varianciát, csak elforgatja a koordinátarendszert. Az angle várt értéke $35$ fok, mert a nagyobb szóródású $z_1$ tengelye a forgatás után ebben az irányban áll; a minta véletlenszerűsége miatt néhány tizedfok eltérés várható. A második főirány erre merőleges, tehát közelítőleg $125$ fok.

A harmadik oszlopnál a pontos lineáris kombináció esetén a legkisebb szinguláris érték gyakorlatilag nulla, és a numerikus rang $2$. A $10^{-8}$ szórású zaj hatására a $\sigma_3$ körülbelül $\sqrt{n}\cdot 10^{-8}$ nagyságrendű lesz, ami az alapértelmezett tűrés felett lehet, így a rang hivatalosan $3$; nagyobb tűréssel viszont ismét $2$-nek tekintjük. A döntést tehát nem érdemes automatikusan a nyers matrix_rank kimenetére bízni, hanem a szinguláris értékek nagyságrendjét kell értelmezni. Ez a későbbi PCA-nál különösen fontos.

10.4.9 Feladatok

10.4.9.1 1. feladat: értelmezés kézi mátrixon

Tekintse a következő, már centrált mátrixot:

$$\mathbf X = \begin{pmatrix} 2 & -1\\ 0 & 2\\ -2 & -1 \end{pmatrix}.$$

Számítsa ki kézzel $\mathbf X^T\mathbf X$ értékét. Melyek a sajátértékei? Melyik a főirány? Adja meg a szinguláris értékeket is.

10.4.9.2 2. feladat: implementálás eltérő forgatással

Generáljon $150$ megfigyelést $60^{\circ}$-os forgatással, $z_1\sim\mathcal N(0,3^2)$ és $z_2\sim\mathcal N(0,0.5^2)$ összetevőkkel, np.random.default_rng(42) seeddel. Centráljon, számítson SVD-t, majd ellenőrizze három feltételt: a rekonstrukciós hiba $<10^{-10}$; az első főirány szöge előjeltől eltekintve $60^{\circ}$-hoz képest $5$ fokon belül van; a $\sigma_j^2/(n-1)$ értékek $9$-hez és $0.25$-höz vannak közel.

10.4.9.3 3. feladat: hibadiagnózis

Egy jegyzetfüzetben a szerző így számol főirányt:

C = X.T @ X
vals, vecs = np.linalg.eigh(C)
print(vecs[:, -1])

A bemeneti $\mathbf X$ mátrix egyik oszlopa $x_1 = 100 + \mathcal N(0,1)$, a másik $x_2 = \mathcal N(0,1)$. Az eredmény szerint a főirány szinte pontosan az $x_1$ irány, és a legnagyobb sajátérték óriási. Mi a fogalmi hiba, és mi a helyes számítás?

10.4.9.4 4. feladat: megváltozott mértékegység

A 35 fokos alapfeladat $\mathbf X$ mátrixát úgy skálázzák, hogy az első oszlopot $1000$-rel szorozzák, a másodikat $0.01$-gyel. Számítsa ki ismét az SVD-t a centrált skálázott mátrixon. Hogyan változik a főirány? Magyarázza meg, miért nem invariáns az eredmény a mértékegységre.

10.4.10 Megoldások és indoklás

10.4.10.1 1. feladat megoldása

A mátrix oszlopátlagai nullák, mert $2+0-2=0$ és $-1+2-1=0$.

$$\mathbf X^T\mathbf X = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -2\\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1\\ 0 & 2\\ -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 0\\ 0 & 6 \end{pmatrix}.$$

A sajátértékek $8$ és $6$, a sajátvektorok $\mathbf e_1$ és $\mathbf e_2$. A főirány $\mathbf e_1 = (1,0)^T$, mert $8>6$. Az SVD-ből $\sigma_1 = \sqrt{8} = 2\sqrt2 \approx 2.828$ és $\sigma_2 = \sqrt6 \approx 2.449$, mert $\mathbf X^T\mathbf X = \mathbf V\boldsymbol\Sigma^2\mathbf V^T$. A rang $2$.

10.4.10.2 2. feladat megoldása

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)
n = 150
z1 = rng.normal(0.0, 3.0, n)
z2 = rng.normal(0.0, 0.5, n)

t = np.deg2rad(60.0)
R = np.array([[np.cos(t), -np.sin(t)],
              [np.sin(t),  np.cos(t)]])
X = (R @ np.vstack([z1, z2])).T

Xc = X - X.mean(axis=0)
U, s, Vt = np.linalg.svd(Xc, full_matrices=False)

err = np.max(np.abs((U * s) @ Vt - Xc))
angle = np.rad2deg(np.arctan2(Vt[0, 1], Vt[0, 0])) % 180
vars_axes = s ** 2 / (n - 1)

print(err, angle, vars_axes)
# Ellenőrzés
assert err < 1e-10
assert abs(angle - 60.0) < 5.0
assert abs(vars_axes[0] - 9.0) < 1.0
assert abs(vars_axes[1] - 0.25) < 0.1

A tűrések szándékosan bőek, mert kis mintán a becsült variancia jelentősen eltérhet a generáló paramétertől. A rekonstrukciós invariáns viszont szoros, mert az SVD matematikai azonosság, nem statisztikai becslés.

10.4.10.3 3. feladat megoldása

A hiba az, hogy a kód $\mathbf X^T\mathbf X$ mátrixon dolgozik a centrálás nélkül. Az $x_1 = 100 + z$ oszlop átlaga $100$, ezért az $\mathbf X^T\mathbf X$ mátrixban a $100^2$ nagyságrendű elem dominál. A számított „főirány” nem a szóródás, hanem az origótól mért nagy eltolás iránya. Helyesen:

Xc = X - X.mean(axis=0)
C = Xc.T @ Xc / (len(Xc) - 1)
vals, vecs = np.linalg.eigh(C)
print(vecs[:, -1])  # a legnagyobb szórás iránya

A centrálás után az első oszlop varianciája $1$-hez, a másodiké szintén $1$-hez közeli, így a főirány már nem lesz triviálisan $x_1$.

10.4.10.4 4. feladat megoldása

X_scaled = X.copy()
X_scaled[:, 0] *= 1000.0
X_scaled[:, 1] *= 0.01

Xc_s = X_scaled - X_scaled.mean(axis=0)
_, s_s, Vt_s = np.linalg.svd(Xc_s, full_matrices=False)
angle_s = np.rad2deg(np.arctan2(Vt_s[0, 1], Vt_s[0, 0])) % 180
vars_s = s_s ** 2 / (len(X_scaled) - 1)

print(angle_s, vars_s)

Az első oszlop $1000$-szeresre növelése annak szórásnégyzetét $10^6$-szorosára növeli; a második oszlop $0.01$-szeresre csökkentése a másik varianciát $10^{-4}$-szeresére. Az új főirány ezért szinte pontosan az $x_1$ tengely, vagyis a szög $0$ fokhoz közeli. A tanulság: a nyers SVD-főirány nem mértékegység-független; a PCA előtt a PCA: skála, vetítés és megőrzött variancia fejezetben a standardizálási döntést expliciten meg kell hozni.

10.4.11 Gyakori tévedés ellenpéldával

A legnagyobb varianciájú irány nem szükségképpen a cél szempontjából leghasznosabb irány. Generáljunk $300$ megfigyelést így:

• $x_1 \sim \mathcal N(0,10)$: nagy szóródású, de tartalmilag irreleváns háttérváltozó;
• $x_2 \sim \mathcal N(0,1)$: kis szóródású, de a célváltozóhoz szorosan kapcsolódó jellemző;
• $y = 0.9x_2 + \varepsilon$, ahol $\varepsilon \sim \mathcal N(0,0.1)$.

Az első főirány szinte kétségtelenül $x_1$ lesz, mert a varianciája $100$-szoros. Ha a feladat a $y$ célváltozó előrejelzése, akkor $x_1$ rossz választás, mert a generálás szerint független $y$-tól. A korrelációban ezt az ellenpéldát mutatja: $\operatorname{corr}(x_1,y)\approx 0$, míg $\operatorname{corr}(x_2,y)\approx 0.9$. A főirány tehát a reprezentáció tömörségét méri, nem a célváltozóval való kapcsolatot. Ezért a dimenziócsökkentést soha nem helyettesítheti automatikusan a felügyelt feature-szelekció.

Egy másik gyakori félreértés: a $\sigma_j^2/(n-1)$ „megmagyarázott variancia” arányt összekeverik a modellpontossággal. Nem minden eltérés számít a döntés szempontjából; a Dátumok, időzónák és kategóriák alfejezetben látott típuscédulák példája is mutatja, hogy az adatválasztás szemantikája elsődleges.

10.4.12 Önellenőrzés

1. Mi a kapcsolat a centrált $\tilde{\mathbf X}$ SVD-je és a minta-kovarianciamátrix sajátfelbontása között?
2. Mit jelent, ha a legkisebb szinguláris érték nulla?
3. Miért nem használható a főirány automatikusan célváltozóra optimalizált feature-ként?
4. Mi történik a főiránnyal, ha az egyik oszlopot ezerszeresére skálázzuk?

A válaszok a fenti szakaszokban találhatók; ha bármelyik nem megy, a megoldásokhoz érdemes visszalapozni.

PCA előtt az adatokat általában centrálni kell, és eltérő skálák esetén indokolt lehet a standardizálás. A megőrzött varianciaarány nem azonos a prediktív információ megőrzésével, a főkomponensek pedig önmagukban nem kapnak oksági értelmezést.

10.4.13 Rövid összefoglaló

A szinguláris felbontás a centrált adatmátrixot ortogonális komponensekre bontja. A jobb szingulárvektorok a kovarianciamátrix sajátvektorai, tehát a pontfelhő főirányait adják; a $\sigma_j^2/(n-1)$ értékek mutatják a vetített varianciát az egyes irányokon. A rang a pozitív szinguláris értékek száma, de numerikusan tűrésfüggő döntés. A legnagyobb varianciájú irány nem feltétlenül a legjobb prediktor, ezért a dimenziócsökkentés és a felügyelt feature-szelekció külön döntés. A későbbi PCA-fejezetben ehhez a skálázás és az értelmezési szerződés csatlakozik.